v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}

Normal
0
false

false
false
false

EN-US
X-NONE
X-NONE

/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:”Table Normal”;
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-priority:99;
mso-style-qformat:yes;
mso-style-parent:””;
mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt;
mso-para-margin-top:0in;
mso-para-margin-right:0in;
mso-para-margin-bottom:10.0pt;
mso-para-margin-left:0in;
line-height:115%;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:11.0pt;
font-family:”Calibri”,”sans-serif”;
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:”Times New Roman”;
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;}
table.MsoTableGrid
{mso-style-name:”Table Grid”;
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-priority:59;
mso-style-unhide:no;
border:solid black 1.0pt;
mso-border-themecolor:text1;
mso-border-alt:solid black .5pt;
mso-border-themecolor:text1;
mso-padding-alt:0in 5.4pt 0in 5.4pt;
mso-border-insideh:.5pt solid black;
mso-border-insideh-themecolor:text1;
mso-border-insidev:.5pt solid black;
mso-border-insidev-themecolor:text1;
mso-para-margin:0in;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:11.0pt;
font-family:”Calibri”,”sans-serif”;
mso-ascii-font-family:Calibri;
mso-ascii-theme-font:minor-latin;
mso-hansi-font-family:Calibri;
mso-hansi-theme-font:minor-latin;
mso-bidi-font-family:”Times New Roman”;
mso-bidi-theme-font:minor-bidi;}

TUGAS

MAKALAH KALKULUS 3

Dosen Pembimbing :

CHATARINA FEBRIANTI, S.Pd

Disusun oleh :

NAMA : ERPIN SULISTIANTO

NPM : 201243500357

Kelas : S3-C

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

Jalan Nangka No.58, Tanjung Barat, Jagakarta, Jakarta Selatan – 12530

Telp. (021) 7818718 – Fax. (021) 78835283 – Website: www.unindra.ac.id

TEKNIK INFORMATIKA

(FTMIPA)

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ………………………………………………………. 2

Kata Pengantar ………………………………………………………. 3

BAB I …………………………………………………………………. 4

1 PENDAHULUAN …………………………………………………………………. 4

1.1 Latar belakang …………………………………………………………………. 4

1.2 Perumusan masalah …………………………………………………………………. 4

1.3 Tujuan penulisan……………………………………………………………………………… 4

BAB II …………………………………………………………………. 5

2 PEMBAHASAN MATERI …………………………………………………………………. 5

2.1 Bilangan komplek …………………………………………………………………. 5

2.2 Barisan dan deret …………………………………………………………………. 11

2.3 Deret aritmatika dan geometri…………………………………………………………… 12

2.4 Turunan …………………………………………………………………. 14

2.5 Integral …………………………………………………………………. 15

2.6 Persamaan Differensial …………………………………………………………………. 16

BAB III …………………………………………………………………. 21

3 PENUTUP …………………………………………………………………. 21

4 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………….. 22

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat dan Hidayah. Sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca.

Harapan saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga saya dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.

Makalah ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat kurang. Oleh kerena itu saya harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Saya menyusun makalah ini sebagai tugas mata kuliah dan sebagai pelengkap nilai di akhir semester ini. Dengan menyusun makalah ini saya harapkan dapat mempermudah mahasiswa untuk memahami, khususnya mengenai bab sifat Bilangan komplek, Barisan dan deret, Deret aritmatika dan geometri, turunan, integral dan persamaan differensial.

1.2 PERUMUSAN MASALAH

a. Bilangan komplek

b. Barisan dan deret

c. Deret aritmatika dan geometri

d. Turunan

e. Integral

f. Persamaan differensial

1.3 TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui tentang Bilangan komplek, Barisan dan deret, Deret aritmatika dan geometri, turunan, integral dan persamaan differensial.

BAB II

Bilangan komplek

2.1 Bilangan komplek

Bentuk umum : Z = a+bi

Dimana Z : Bilangan Komplek

a : Bilangan real

b : bilangan imaginer

i : maka = -1

bilangan komplek dinyatakan dengan pasangan berurutan (a,b) dan diplot sebagai titik pada bidang organd.

Contoh :

Z = 5+8i

Maka a=5

b=8

(5+8i)

Operasi bilangan komplek

1). Penjumlahan dan Pengurangan

Bentuk umum :

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i

(a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d) i

Contoh :

(4-i) + (2+4i) = 6+3i

(4-2i) – (-2 –i) = 6-1i

Latihan soal

1. (6+3i) + (2+1i)

2. (8+9i) – (5+4i)

2). Perkalian

Bentuk umum :

(a+bi) (c+di) = ac + adi + bci +

= ac + (ad+bc) i – bd

= (ac-bd) + (ad+bc) i

Contoh :

1. (2+i) (4-2i) = 8+4i-4i-

= 8+0i+2

= 10

2. (3+2i) (4+i) = 12+8i+3i+

= 12+11i-2

= 10+11i

Latihan soal :

1. (5-3i) (2-6i)

2. (4+2i) (5+3i)

3). Pembagian Komplek sekawan

Misal : Z = a+bi maka sekawannya

Z = a-bi

Contoh :

1. 4+8i

Bentuk umum :

Contoh :

Latihan soal

Sifat-sifat sekawan

z+w = z + w

zw = z . w

zⁿ = (z)ⁿ

Contoh :

z = 2+i

w = 3+3i

maka,

z+w = z + w

= (2 – i) + (3 – 3i)

= 5 – 4i

zw = z . w

= (2 – i) (3 – 3i)

= 6 – 3i – 6i + 3i²

= 6 – 9i – 3

= 3 – 9i

z² = (z)²

= (2 – i)²

= 4 – 4i + i²

= 4 – 4i – 1

= 3 – 4i

Latihan soal

1. z = 5 – 2i

w = 4 + i

2. z = 3 + 6i

w = 2 – 7i

Bentuk polar

Z = a + bi (a,b) dapat dinyatakan sebagai koordinat polar (r,0) dengan r ≥ 0 dengan

a = r cos ϴ

b = r sin ϴ

a+bi

r b

sehingga z = a + bi

= r cos ϴ + r sin ϴ i

= r (cos ϴ + i sin ϴ)

dengan r = |z| = dan tg ϴ =

Contoh :

1. z = 1 + i 0 ≤ ϴ ≤

r =

tg ϴ = = = 1 45 (

Tabel trigonometri

	0	30	45	60	90
Sin	0				1
Cos	1				0
tg	0		1		~

z = (cos + i sin )

sin

(+) sin cos (+)

II I tg

III IV

(+) tg cos (+)

2. z = – i 0 ≤ ϴ ≤

r =

= 2

Right Triangle: ∞ tg = – y r sin ∞ =

= – cos ∞ =

x tg ∞ =

z = 2 (cos (- ) + i sin(- ))

Latihan soal

1. z = 5 – i

2. z = + 2i

Operasi aljabar pada bentuk polar

z₁ . z₂ = r₁ . r₂ (cos (ϴ₁ + ϴ₂) + i sin (ϴ₁ + ϴ₂))

= (cos (ϴ₁ – ϴ₂) + i sin (ϴ₁ – ϴ₂))

= (cos ϴ – i sin ϴ)

Contoh :

z₁ = 1 + i z = (cos + i sin )

z₂ = – i z = 2 (cos (- ) + i sin(- ))

z_{1 .}z₂=2 (cos + (- )) + i sin + (- ))

= 2 (cos – ) + i sin – )

= 2 (cos + i sin)

= 2 (cos 15 + i sin 15)

= (cos + ) + i sin +

= (cos + i sin)

= (cos 75 + i sin 75)

= (cos – i sin )

= (cos 45 – i sin 45)

Latihan soal

1. z = 3 + 1i

2. z = – 3i

Eksponensial kompleks

Rumus euler yaitu e^iy = cos y + i sin y

Catatan : e^x + iy = e^x . e^iy

= e^x (cos x + i sin y)

Contoh :

1. eⁱ^𝞹 = cos 𝞹 + i sin 𝞹

= -1 + 𝞹 . 0

= -1

2. e^-1 + 1 = e^-1 . eⁱ^𝞹^/2

= e^-1 (cos + i sin

= (0+i . 1)

3. e⁵ + i = e⁵ . eⁱ^𝞹^/6

= e⁵ (cos + i sin )

= e⁵ ( + i )

= e⁵ + e⁵i

Latihan soal

1. e⁵ⁱ^𝞹

2. e^-3 + 2

3. e² + i

2.2 Barisan dan Deret

A. Notasi sigma

= + + ….

Contoh :

1. i = 1 + 2 + 3 = 6

2. i² = 1² + 2² + 3² +4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

3. =

Latihan soal

1. 2 =

2. i³ =

B. Sifat

1). Ci = C i

2). i ± bi = i ± i

3). i j = j

Contoh :

1. 2i = 2 i

= 2 (1+2+3)

2. (i + i²) = + i²

= (1+2) + (1²+2²)

= 3+5

3. i j = j

= (1+2) (1+2+3)

= 3.6

Latihan soal

1. 3i

2. (2i + 2i²)

3. i j

C. Teorema

1). 1=n

2). C = n.c

3). i =

4). i² =

5). i³ = (²

2.3 Deret Aritmatika dan Geometri

A. Deret Aritmatika

Yaitu suatu barisan yang selisih tiap 2 suku yang berurutan selalu tetap barisannya.

(u₁, u₂, u₃, …. u_n)

Jumlah : s_n = u₁ + u₂ + u₃ + …. u_n

b = u₂ – u₁ b = u_n – u_n-1

u_n = a + (n-1) b1

s_n = (2a + (n-1) b)

= (u₁ + u_n)

Contoh :

1,3,5,7,9….

1. Tentukan : a. u₁₀

b. s₁₀

jawab : a. a u₁ = 1

b = 2

u₁₀ = a + (n – 1 ) b

= 1 + (10 – 1) 2

= 1 + (9) 2

= 19

s₁₀ = (u₁ + u_n)

= (1 + 19)

= 5 (20)

= 100

Latihan soal

1. 1,6,11,16…..

Tentukan : a. u₅

b. s₅

B. Deret Geometri

Yaitu barisan dengan pembanding 2 suku yang berurutan selalu tetap

r =

u_n = ar^n-1

, r < 1

s_n , r > 1

s_~ =

Contoh :

1. 1,3,9,27….

Tentukan : u₁₀ dan s₁₀

a = 1

r = 3

jawab :

u₁₀ = ar^n-1

= 1 . 3^10-1

= 3⁹

= 19.683

s₁₀ =

= 29.524

2. Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah 4 suku pertama sama dengan 17 dan jumlah 8 suku pertama sama dengan 58. Suku pertama dari deret tersebut adalah….

diket : u₄ = 17

s₈ = 58

ditanya : u₁ = ….?

jawab : u₄ a+3b = 17……………. ₁

s₈ (2a + (n – 1) b)

(2a + 7b)

4 (2a + 7b)

8a + 28b = 58……….₂

a + 3b = 17 |x8| 8a + 24b = 136

8a + 28b = 58 |x1| 8a + 28b = 58 –

-4b = 78

b =

b = -19,5

a + 3b = 17

a + 3 (-19,5) =17

a = 17 + 58,5

a = 75,5

Latihan soal

1. 1,5,25125….

Tentukan : u₃ dan s₃

a = 1

r = 5

2. -1,1,3,5,7,9….

Tentukan : u₇ dan s₇

a = -1

r = -1

2.4 Turunan parsial

1. Jika pada z = f (x,y), y dianggap konstan maka z = f (x,y) diturunkan terhadap x artinya kita mencari differensial partial menurut x notasinya z_x, , f_x (x,y).

2. Jika pada z = f (x,y), x dianggap konstan maka z hanya merupakan fungsi y saja dan jika z = f (x,y) diturunkan terhadap y artinya kita mencari differensial partial menurut y.

Notasinya : z_y, , f_y (x,y)

Contoh :

1. w = x²y³ + 2x³ + 4xy⁴ + y⁶

= …. ?

atau w_x, y_y = …. ?

jawab :

= 2xy³ + 6x² + 4y⁴ + 0

= 3x²y² + 0 + 16xy³ + 6y⁵

Latihan soal

1. w = x⁴y² + 3x² + 2xy² + y⁴

2. z = x⁵ + 4x² + xy⁴ + y²

2.5 Integral

Bentuk umum : ∫ axⁿ dx = xⁿ⁺¹ + c

Contoh :

1. ∫ (3x² + 2x + 4) dx = ∫3x² dx + ∫2x dx +∫4 dx + c

= 3 ∫x² dx + 2 ∫x dx + 4 ∫dx + c

= 3.x³ + 2.x²+ 4x + c

= x³ + x² + 4x + c

2. ∫ (– 3) dx = ∫ (x^-3 -3) dx

= ∫x^-3+1-3x + c

= ∫x^-2-3x + c

3. ∫ x dx = ∫ x. x^1/2 dx

= ∫x^3/2dx

= x^1+3/2+ c

= x^5/2+ c

Latihan soal

1. ∫ (2x⁴ + 3x³ + 4x²) dx

2. ∫ 5x dx

3. ∫ + x² dx

Integral subtitusi

Contoh :

1. ∫ (x³ – 2)² 3x² dx

Misal : u = x³ – 2

du = 3x² dx

∫ (x³ – 2)² dx = ∫ u² du

= u³+ c

= (x³– 2)³+ c

2. ∫ x.x² cos x³ dx

Misal : u = x²

du = 3x² dx

∫ cos u du = – sin u + c

= – sin x³ + c

Latihan soal

1. ∫ (x + x²) dx

2. ∫ sin x cos x dx

3. ∫ cos² x sin x dx

Integral parsial

∫ u dv = u.v – ∫v du

Contoh :

∫ x² sin x dx

Misal : u = x²

du = 2x dx

dv = sin x dx

v = -cos x

x² (-cos x) – ∫ (-cos x) 2x dx

-x² cos x –∫ -2x cos x dx

2.6 Persamaan Differensial

Persamaan Differensial yang dapat disisipkan

= m (x) N (y)

Contoh :

1. =

∫ = ∫

ln (1+y) = ln (2+x)

ln (1+y) – ln (2+x) = ln c

ln = ln c

1 + y = c (2 + x)

y = c (2 + x) -1

misal : u = -2x

du = -2

dv = cos x dx

v = sin x

-x² cos x – (-2x sin x – ∫ sin x (-2))

-x² cos x + 2x sin x – ∫ -2 sin x

Misal : u = -2 dv = sin x

du = 0 v = -cos x

-x² cos x + 2x sin x – (-2 –cos x – ∫ -cos x (0))

-x² cos x + 2x sin x – (2cos x)

-x² cos x + 2x sin x – 2 cos x

2. =

∫ = ∫

ln y (1+3y) = ln x (1+2x)

ln y (1+3y) – ln x (1+2x) = ln c

ln = ln c

= c

Latihan soal

1. =

2. =

PD Eksak

Bentuk : M (µ,y) dµ+N(µ,y) dy = 0

Syarat : =

Contoh :

1. (y² + bµ²y) dµ + (2µy + 2µ³) dy = 0

= = 2y + 6µ²

Cara 1

F (µ,y) = ∫ M (µ,y) dµ + 9(y)

= ∫ (y² + 6µ²y) dµ + 9 (y)

= µy² + 2µ³y + 9 (y)

= N (µ,y)

= 2µy + 2µ3

2µy + 2µ3 + 9’(y) = 2µy + 2µ³

9’(y) = 0

9(y) = ∫ 9’(y) = ∫ 0 dy = c

F (µ,y) = µy² + 2µ³y + c = 0

Persamaan differensial tak eksas

1. Faktor integral

Bentuk umum : M (µ,y) dµ + N (µ,y) dy = 0

Syarat : ≠

Pencarian faktor integral

F (µ) = e^{s 1/N} ( –) dµ atau e^{s 1/m} ( –) dy

Sehingga (F(µ). (M(µ,y)) + (F(µ), N(µ,y)) dy = 0 Eksak

Contoh:

1. (µ³ + µy⁴) dµ + 2y³ dy = 0

= = 4µy³

= = 0

F(µ) = e^∫ ^1/2y3 (4µy3 – 0) dµ

= e^∫ (

= e^∫ 2µ dµ

= eµ²

v Eµ² . (µ³ + µy) dµ + eµ² (2y³) dy = 0

= = 4µy³e^µ²

F(µ,y) = ∫ Q (µ,y) dy + h (µ)

= ∫ 2y³e^µ² dy + h (µ)

= y⁴ e^µ² + h (µ)

= = p (µ,y)

= µy4eµ2 + h’(µ) = eµ3.µ3 + µy4eµ2

h¹(µ) = e^µ2.µ³

h(µ) = ∫ h¹(µ) = ∫ e^µ2.µ³ dµ

de^µ²à turunan e^µ²

h(µ) = ∫ eµ².µ³ dµ

Turunan pangkat e

= ∫

` = ∫ µ² de^µ2

= [µ² e^µ2 – ∫ e^µ2 dµ²]

= [µ²e^µ2 – e^µ2] + c

v F(µ,y) = y⁴e^µ² + [µ²e^µ² – e^µ²] + c

= e^µ² [y⁴ + µ² – 1] + c = 0

Latihan soal

1. (µy² + µ⁶) dµ + 5y² dy = 0

2. (µ⁵ + µy³) dµ + 2y⁶ dy = 0

PD Homogen

= f(x,y)

= f ()

Cara termudah untuk menyelesaikan PD Homogen dengan mendefinisikan variabel baru z = atau y = z.x dan PD menjadi x. + z = f (z) dimana ruas kiri PD ini diperoleh dengan menerapkan aturan rantai y = z.x x. + z

Dalam bentuk ini kita selalu akan memisahkan variabel-variabelnya

Contoh :

= +

= + misal z =

x. + z = z² + 2z

x. = z² + 2z -z

x. = z² + z

x. =

x.dz = z² + z dx

∫ ( dz = ∫ dx

∫ dz ∫ dz = ∫ dx

ln z . ln (z+1) = ln x+c

∫ = ln x

∫ = ln z

Latihan soal

1. =

2. =

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Sistem persamaan linier adalah kumpulan persaman-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Sistem persamaan linier memiliki penyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi persamaan-persamaan tersebut jika disubstitusi.

Ada berbagai macam cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Salah satunya adalah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi baris elementer untuk menghasilkan matriks

augmentasi yang berbentuk baris eselon yang tereduksi.

3.2 Saran-saran

Program yang dibuat diharapkan dapat berguna bagi orang lain. Namun program yang berhasil dibuat tetap memiliki beberapa kelemahan. Maka diharapkan program tersebut nantinya dapat diperbaiki lebih lanjut sehingga dapat menjadi lebih baik lagi.

Kelompok terutama kesulitan untuk mencari bahan dari buku-buku atau website internet yang

membahas mengenai penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dari m persamaan. Walau akhirnya berhasil mendapatkan bahan yang diperlukan, namun tak banyak yang membahas. Sumber terutama hanya membahas penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dan n persamaan.

Sebaiknya sumber-sumber juga membahas mengenai penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dari m persamaan karena dapat juga dilakukan.